Cílem předmětu je ovládat základní látku lineární algebry potřebnou v dalších odborných předmětech věnujících se algebře, geometrii a matematické analýze.
Vlastnosti souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Počet stránek: 17
Velikost: 9,09 MB
Rok vypracování: 2018
Vypracovné příklady
Počet příkladů: 14
Velikost: 0,45 MB
Rok vypracování: 2018
Obsah souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Algebraické operace a algebraické struktury
Vektorový prostor, aritmetický vektorový prostor, další příklady vektorových prostorů, vlastnosti vektorových prostorů
Podprostor vektorového prostoru, podprostor generovaný danou množinou, systém generátorů vektorového prostoru
Lineárně závislé a nezávislé vektory a množiny, báze vektorového prostoru
Steinitzova věta o výměně a její důsledky, dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektory
Lineární a přímý součet vektorových prostorů, věta o dimenzích
Soustavy lineárních rovnic, matice soustavy, rozšířená matice soustavy, řešení soustavy rovnic, ekvivalentní soustavy, homogenní a nehomogenní soustavy rovnic, Gaussova metoda řešení soustavy rovnic
Vektorový prostor matic daného typu, okruh čtvercových matic - nevypracováno
Frobeniova věta, množina všech řešení soustavy lineárních rovnic, homogenní soustava lineárních rovnic (řešitelnost), vektorový prostor všech řešení homogenní soustavy rovnic
Determinant (permutace, pořadí, inverze, znamení pořadí, definice determinantu), výpočet determinantu 2. a 3. řádu podle definice, vlastnosti determinantu
Euklidovský vektorový prostor (definice, příklady, vlastnosti)
Ortogonální a ortonormální vektory, ortogonální a ortonormální báze, vektory ortogonální k vektorovému prostoru, ortogonální doplněk k vektorovému prostoru
Lineární zobrazení, jádro a obraz lineárního zobrazení
Matice lineární zobrazení
Vlastní čísla a vlastní vektory matice, respektive lineární transformace
Cílem předmětu je vytvořit si ucelenější představu o vnitřní struktuře obecné algebry, o jejích metodách, o souvislostech mezi čistě algebraickými výsledky a jejich aplikacemi a získat tak dostatečně obecný pohled na algebraickou problematiku při výuce matematiky na střední škole.
Vlastnosti souboru:
Přednášky - zpracované okruhy ke zkoušce
Počet stránek: 9
Velikost: 3,82 MB
Rok vypracování: 2018
Cvičení
Počet stránek: 15
Velikost: 4,07 MB
Rok vypracování: 2018
Obsah souboru:
Přednášky - zpracované okruhy ke zkoušce
Binární operace, Asociativní operace, Komutativní operace, Neutrální prvek, inverzní prvek, jejích jednoznačnost, Grupa, Grupa bijekcí množiny, Permutace, Cyklus, Rozklad permutace na součin nezávislých cyklů, Transpozice, Rozklad permutace na součin transpozic, Inverze, Parita permutace, Determinant čtvercové matice, Grupa zbytkových tříd, Mocnina prvku, Vlastnosti mocniny, Řád prvku, Zákon o krácení v grupě, Podgrupa, generovaná danou množinou, Řád prvku v grupě, Cyklická grupa, Cyklická podgrupa
Homomorfismus grup, Jeho vlastnosti, Inverzní obraz homomorfismu je podgrupou, Jádro homomorfismu, Injektivnost homomorfismu, Izomorfismus grup, Inverzní zobrazení pro izomomorfismus je izomorfismem, Tvar konečných a nekonečných cyklických grup, Součin grup, Věta o rozkladu komutativní grupy v součin podgrup, Euklidův algoritmus, Bezoutova rovnost, Rozklad grupy Znm
Levá třída grupy podle podgrupy, Rovnost levých tříd, Množina levých tříd, Normální podgrupa, Faktorová grupa, Grupa zbytkových tříd jako faktorová grupa, Faktorizace homomorfismu
Okruh, Příklady, Základní vlastností okruhů, Komutativní okruh, Dělitel nuly, Obor integrity, Zákon o krácení, Těleso, Pole, Charakteristika okruhu, Komplexní čísla, Kvaterniony, Podokruh, Podpole, Homomorfismus okruhů, Jádro homomorfismu, Isomorfismus okruhů, Ideál, Faktorový okruh
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními vlastnostmi polynomů jedné a více neurčitých a získat tak prostředky k objasnění problému řešitelnosti algebraických rovnic a k metodám řešení některých typů algebraických rovnic.
Vlastnosti souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Počet stránek: 31
Velikost: 7,38 MB
Rok vypracování: 2019
Cvičení
Počet stránek: 32
Velikost: 30,39 MB
Rok vypracování: 2019
Obsah souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Polynomické funkce (Polynom jedné proměnné)
Operace s polynomy
Adjunkce k oboru integrity (Obor integrity vzniklý adjunkcí prvku)
Algebraické rovnice o jedné neznámé
Algebraické a transcendentní prvky (Minimální polynom prvku, stupeň algebraického prvku)
Algebraická definice polynomů jedné neurčité (Obor integrity polynomů jedné neurčité nad oborem integrity, Dosazovací pravidlo)
Dělitelnost v oboru integrity polynomů (Věta o dělení zbytkem, Neúplný podíl a zbytek, Bezoutova věta, Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek)
Kořeny polynomů (Základní věta algebry, Steinitzova věta, Formální první derivace polynomu)
Cílem tohoto předmětu je zvládnutí základních pojmů a metod kombinatoriky. Aplikace kombinatorických metod v ostatních matematických disciplinách jsou diskutovány.
Vlastnosti souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Počet stránek: 26
Velikost: 1,81 MB
Rok vypracování: 2020
Cvičení
Počet stránek: 22
Velikost: 1,46 MB
Rok vypracování: 2020
Obsah souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Kombinatorika na střední škole
Princip inkluze a exkluze, subfaktoriály
Cesty ve čtvercové síti
Rozmisťovací úlohy, Dirichletův princip
Cvičení
Kombinatorika na střední škole (21 úloh)
Princip inkluze a exkluze, subfaktoriály (11 úloh)
Předmět opakuje a prohlubuje znalosti z planimetrie, které posluchač nabyl na střední škole. Výklad je doplněn o axiomatický přístup k budování geometrie. Důraz je kladen na pochopení matematických důkazů a logické výstavby matematiky.
Vlastnosti souboru:
Zápisky z přednášek
Počet stránek: 20
Velikost: 18,69 MB
Rok vypracování: 2019
Cvičení
Počet stránek: 18
Velikost: 15,81 MB
Rok vypracování: 2018
Konstrukce trojúhelníků
Počet stránek: 61
Velikost: 48,97 MB
Rok vypracování: 2018
Obsah souboru:
Zápisky z přednášek
Osa úsečky, Lomená čára, Mnohúhelník, Věty o součtu velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku a n-úhelníku, Věta o počtu úhlopříček n-úhelníku, Rovnoběžník, Kosočtverec, Trojúhelník
Eulerova přímka, Feuerbachova kružnice, Dělící poměr, Fermatův bod trojúhelníku
Menealova věta, Cevova věta, Věta obrácená k Cevově větě
Kružnice, Thaletova věta, Obvodový, úsekový a vrcholový úhel
Mocnost bodu ke kružnici, Tečnový a tětivový trojúhleník (viz Seminář ze středoškolské matematiky.pdf, strana 10), Deltoid, Pythagorova věta a metrické vztahy v trojúhelníku (Pythagorova věta, Eukleidovy věty o výšce a o odvěsnách, Sinová věta, Kosinová věta)
Klasifikace transformací roviny, Příklady zobrazení a ukázka ke skládání zobrazení, Kruhová inverze (Obraz přímky v kruhové inverzi, Obraz kružnice v kruhové inverzi)
Cvičení
1. hodina (01. 10. 2018)
2. hodina (08. 10. 2018)
3. hodina (15. 10. 2018)
4. hodina (22. 10. 2018)
5. hodina (05. 11. 2018)
6. hodina (12. 11. 2018)
7. hodina (19. 11. 2018)
8. hodina (26. 11. 2018)
9. hodina (03. 12. 2018)
Konstrukce trojúhelníků
zobrazit/skrýt seznam konstrukcí
strana a, strana b, strana c
strana a, strana b, úhel α
strana a, strana b, úhel γ
strana a, strana b, výška va
strana a, strana b, výška vc
strana a, strana b, těžnice ta
strana a, strana b, těžnice tc
strana a, strana b, poloměr kružnice opsané r
strana a, úhel α, úhel β
strana a, úhel α, výška va
strana a, úhel α, výška vb
strana a, úhel α, těžnice ta
strana a, úhel α, těžnice tb
strana a, úhel α, poloměr kružnice vepsané ρ
strana a, úhel β, úhel γ
strana a, úhel β, výška va
strana a, úhel β, výška vb
strana a, úhel β, těžnice ta
strana a, úhel β, těžnice tb
strana a, úhel β, těžnice tc
strana a, úhel β, poloměr kružnice opsané r
strana a, úhel β, poloměr kružnice vepsané ρ
strana a, výška va, výška vb
strana a, výška va, těžnice ta
strana a, výška va, těžnice tb
strana a, výška va, poloměr kružnice opsané r
strana a, výška vb, výška vc
strana a, výška vb, těžnice ta
strana a, výška vb, těžnice tb
strana a, výška vb, těžnice tc
strana a, výška vb, poloměr kružnice opsané r
strana a, výška vb, poloměr kružnice vepsané ρ
strana a, těžnice ta, těžnice tb
strana a, těžnice ta, poloměr kružnice opsanér
strana a, těžnice tb, těžnice tc
strana a, poloměr kružnice opsané r, poloměr kružnice vepsané ρ
Cílem předmětu je seznámit studenty s teorií afinních a euklidovských prostorů, zaměřit se na zobecnění a prohloubení jejich znalostí a představ, kterých nabyli při studiu prostorů dimenze 2 a 3, na prostory s vyšší dimenzí. Důraz je kladen na vzájemnou polohu podprostorů afinních a euklidovských prostorů. Předmět se též zaměřuje na vědomé využívání nabytých znalostí a představ při řešení polohových a metrických úloh.
Cílem předmětu je seznámit studenty s teorií bilineárních a kvadratických forem, s teorií kuželoseček a kvadrik, zaměřit se na zobecnění a prohloubení jejich znalostí a představ, kterých nabyli při studiu kuželoseček v rovině a kvadrik v trojrozměrném prostoru, na prostory s vyšší dimenzí.. Předmět se též zaměřuje na vědomé využívání nabytých znalostí a představ při řešení úloh.
Vlastnosti souboru:
Zápisky z přednášek
Počet stránek: 29
Velikost: 1,73 MB
Rok vypracování: 2020
Cvičení
Počet stránek: 28
Velikost: 25,42 MB
Rok vypracování: 2019
Obsah souboru:
Zápisky z přednášek
Okruh A
Definujte elipsu, hyperbolu, parabolu jako množiny bodů dané vlastnosti
Zaveďte elipsu, hyperbolu, parabolu a kružnici jako řezy rotační kuželové plochy
Definujte kuželosečku pomocí ohniska a řídící přímky. Vysvětlete význam čísla k a polohy ohniska a řídící přímky
Definujte pojmy: bilineární forma, symetrická bilineární forma, antisymetrická bilineární forma
Definujte pojmy: vrchol symetrické bilineární formy, singulární a regulární bilineární forma
Definujte pojmy: kvadratická forma, polární bilineární forma, vrchol kvadratické formy
Definujte pojmy: polární báze kvadratické formy, signatura kvadratické formy
Definujte pojmy: kvadrika v komplexním rozšíření afinního prostoru prostoru, být polárně sdružení (konjugovaný) vzhledem ke kvadrice
Definujte pojmy: singulární bod kvadriky, singulární a regulární kvadrika
Definujte pojmy: polární nadrovina vzhledem ke kvadrice, tečná nadrovina kvadriky, tečna kvadriky
Definujte pojmy: střed kvadriky, průměrová nadrovina kvadriky, asymptotický směr kvadriky a asymptotická nadrovina kvadriky
Definujte pojmy: hlavní směr kvadriky a osová nadrovina kvadriky
Okruh B
Odvoďte rovnici elipsy
Odvoďte rovnici hyperboly
Odvoďte rovnici paraboly
Odvoďte ohniskovou rovnici kuželosečky
Odvoďte vrcholovou rovnici kuželosečky
Odvoďte středovou rovnici kuželosečky
Odvoďte transformační vztahy pro transformaci (otočení) soustavy souřadnic
Odvoďte rovnici rotačního elipsoidu
Odvoďte analytické vyjádření bilineární formy
Odvoďte obecný postup pro určení vrcholu bilineární formy
Odvoďte obecný postup pro určení středu kvadriky
Odvoďte obecný postup pro určení hlavních směrů kvadriky
Okruh C
Proveďte diskusi vrcholové rovnice kuželosečky vzhledem k hodnotě k
Proveďte diskusi středové rovnice kuželosečky vzhledem k hodnotě k
Vysvětlete využití transformace (otočení) soustavy souřadnic při studiu kuželosečky
Zaveďte rovnice aspoň pěti kvadrik, které vzniknou rotací kuželosečky podle její osy
Zaveďte rovnice aspoň pěti kvadrik odvozených od rotačních kvadratických ploch, hyperbolický paraboloid
Vysvětlete podstatu komplexního rozšíření vektorového prostoru
Vysvětlete podstatu komplexního rozšíření afinního prostoru
Vysvětlete podstatu projektivního rozšíření afinního prostoru
Zformulujte a dokažte větu o existenci symetrické a antisymetrické bilineární formy k dané bilineární formě
Zformulujte a dokažte větu o existenci symetrické bilineární formy k dané kvadratické formě
Zformulujte a dokažte větu o tom, kdy je bod A kvadriky konjugovaný s bodem B v závislosti na poloze přímky AB
Zformulujte a vysvětlete kritéria pro určení druhu kuželosečky pomocí její matice
Předmět má za cíl sjednotit a prohloubit znalosti o řešení konstrukčních úloh v prostoru. Jsou používány různé způsoby modelování prostorových útvarů a vztahů důležité pro učitelskou praxi.
Vlastnosti souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Počet stránek: 17
Velikost: 15,93 MB
Rok vypracování: 2020
Obsah souboru:
Přednášky - zpracované otázky ke zkoušce
Obvod a obsah geometrických útvarů. Obvod mnohoúhelníku, délka kružnice. Obsah trojúhelníku, čtyřúhelníku, pravidelného mnohoúhelníku a kruhu. Odvození příslušných vzorců.
Povrch a objem geometrických útvarů. Povrch tělesa, objem hranolu, jehlanu, válce, kuželu a koule. Odvození příslušných vzorců.
Obecný princip promítání (ilustrováno náčrtem). Středové promítání (ilustrace na krychli). Pravidla rovnoběžného promítání.
Pohlkeova věta a její vztah k volnému rovnoběžnému promítání. Pravidla užití volného rovnoběžného promítání. Kreslení těles ve čtvercové a izometrické síti.
Kótované promítání. Princip a názvosloví, zobrazení bodu, přímky a roviny.
Mongeovo promítání. Obecný princip a názvosloví, zobrazení bodu, přímky a roviny.
Cílem je zvládnout základy kalkulu funkcí jedné reálné proměnné. Důraz je kladen na vědomé používání matematických vět při řešení matematických úloh. Dalším z cílů je zvládání důkazových úloh a pochopení důkazů vybraných vět.
Vlastnosti souboru:
Zápisky z přednášek
Počet stránek: 19
Velikost: 5,85 MB
Rok vypracování: 2019
Důkazy vět, odvození výpočtu příkladů na limity a odvození vzorců pro derivaci elementárních vzorců
Počet stránek: 6
Velikost: 5,5 MB
Rok vypracování: 2019
Vypracovné příklady
Počet příkladů: 7
Velikost: 0,20 MB
Rok vypracování: 2019
Cvičení
Počet stránek: 7
Velikost: 2,96 MB
Rok vypracování: 2018
Obsah souboru:
Zápisky z přednášek
Reálná čísla
Axiomy množiny reálných čísel
Omezená množina, supremum a infimum množiny
Limita posloupnosti
Základní pojmy
Věty o limitách posloupnosti
Nevlastní limita
Další vlastnosti konvergentních posloupností
Hromadné hodnoty posloupnosti, Limes superior a inferior
Spojitost a limita funkce
Spojitost funkce
Limita funkce
Nevlastní limita funkce
Limita funkce v nevlastních bodech
Nevlastní limita funkce v nevlastních bodech
Derivace funkce
Definice derivace
Geometrický význam derivace
Vlastnosti derivace
Věta o derivaci inverzní funkce
Věta o derivaci složené funkce
Derivace vyšších řádů
Diferenciál funkce
Věty o střední hodnotě
Rollenova věta a její geometrický význam
Lagrangeova věta o střední hodnotě a její geometrický význam
Cauchyova věta o střední hodnotě
L'Hospitalovo pravidlo
Taylorova věta a Taylorův polynom
Průběh funkce
Lokální extrémy funkce
Konvexnost a konkávnost funkce a druhá derivace funkce
Cílem je ovládnout základy integrálního počtu funkcí jedné proměnné a teorii nekonečných řad. Důraz je kladen na vědomé používání matematických vět při řešení početních úloh. Cílem je též zvládnutí jednodušších důkazových úloh a znalost důkazů u vybraných vět.
Vlastnosti souboru:
Přednášky - zpracované okruhy ke zkoušce
Počet stránek: 7
Velikost: 8,12 MB
Rok vypracování: 2019
Cvičení
Počet stránek: 10
Velikost: 8,26 MB
Rok vypracování: 2019
Obsah souboru:
Přednášky - zpracované okruhy ke zkoušce
Newtonův integrál (Primitivní funkce, Neurčitý integrál, Linearita neurčitého integrálu, Integrální metoda per partes, Metoda substituční, Zobecněný Newtonův integrál)
Riemannův určitý integrál (Křivočarý lichoběžník, horní a dolní integrální součet, horní a dolní integrál, Riemannův integrál, Podmínky existence, Vlastnosti - linearita, monotonie, aditivita, Základní věta integrálního počtu, Zobecněný RI)
Nekonečné číselné řady (Vlastnosti, Posloupnost částečných součtů řady, Konvergentní a divergentní řady, Absolutní a neabsolutní konvergence, Nutná podmínka konvergence řady, Kritéria konvergence řad, Konvergence geometrické řady, Riemannova věta o přerovnávání řad)
Mocninné řady (Definice, Abelova věta, Poloměr konvergence, Interval konvergence, Derivování mocninné řady člen po členu, Integrování mocninné řady člen po členu, Obor konvergence, Bodová konvergence, Stejnoměrná konvergence)
Taylorova řada (Taylorův polynom, Taylorova věta, Rozvoj funkce, Taylorova řada)
Úkolem předmětu je prohloubit dovednosti studentů ze středoškolské matematiky, rozšířit je a navázat na ně při studiu odborných i praktických chemických disciplín.
Úkolem předmětu je prohloubit dovednosti studentů ze středoškolské matematiky, rozšířit je a navázat na ně při studiu odborných i praktických chemických disciplín.
Cílem předmětu je získat zkušenosti a dovednosti při rozvíjení prostorové představivosti prostřednictvím softwarů Geogebra 3D a Blender. Studenti se seznámí s principy zobrazování a důležitými vlastnostmi některých vybraných ploch a těles.
Opakovací seminář vychází z RVP pro střední školy v okruzích planimetrie a stereometrie od samých začátků. Systematizuje středoškolské poznatky. Zabývá se základními a odvozenými pojmy v rovině a v prostoru, jejich zavedením, definicemi, vlastnostmi, vztahy. Důraz je též kladen na konstrukční schopnosti a dovednosti studentů.
Vlastnosti souboru:
Počet stránek: 19
Velikost: 19,54 MB
Rok vypracování: 2017
Obsah souboru:
Zápisky ze cvičení a příprava na průběžné zápočtové testy
1. okruh (symbolické zápisy, grafické sestrojení úhlů, určení úhlů výpočtem, diskuze průniku přímky a trojúhelníku, sestrojení součtu délek stran trojúhelníku,...)
2. okruh (výpočet úhlů za daných podmínek, poměr vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr velikostí vnějších úhlů trojúhelníku, počet úhlopříček n-úhelníku, velikost vniřních úhlů n-úhelníku,...)
3. okruh (základní a odvozené pojmy eukleidovské geometrie, symbolické zápisy, znalost pěti axiomů eukleidovské geometrie, jednotky velikosti úhlů, konstrukce úhlů daných velikostí, eukleidovské konstrukce, klasifikace trojúhelníků, učivo o trojúhelníku, klasifikace čtyřúhelníků a důkazy vět s nimi související, konstrukce pravidelného n-úhelníku,...)
4. okruh (charakteristika všech shodných zobrazení v rovině i v prostoru, n-boká hranolová plocha, n-boký hranolový prostor, n-boký hranol, pravidelný hranol, rovnoběžnostěn, klenec)
Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá studiem množin. Množina je buď souhrn nějakých prvků (přičemž nezáleží na jejich pořadí), anebo nějaká matematická formalizace tohoto konceptu. Teorie množin, která vychází z intuice a zachází s množinami jako se soubory nějakých objektů, se nazývá naivní teorie množin. Kromě ní existují axiomatické teorie množin, které přesně formulují vlastnosti množin několika axiomy a z nich (bez využití intuice či dalších předpokladů) odvozují další vlastnosti množin pomocí matematické logiky. Ve většině těchto teorií je možné zkonstruovat všechny běžně používané matematické objekty (tj. reálná čísla, funkce, uspořádané dvojice atd.) jako množiny.
Vlastnosti souboru:
Počet stránek: 31
Velikost: 18,7 MB
Rok vypracování: 2021
Obsah souboru:
Úvod do teorie množin
Axiomy teorie množin
Přehled axiomů
Russelův paradox
Definice třídy, Univerzální třída, Operace s třídami, Vlastní třídy
Cílem předmětu je zopakovat, prohloubit a doplnit některé znalosti studentů ze střední školy, potřebné v ostatních matematických disciplínách. Konkrétně se věnuje základům výrokové a predikátové logiky, výrokovým formám, matematickým větám a jejich důkazům, základním pojmům z teorie množin, binárním relacím a relacím ekvivalence a uspořádání.
Základy predikátové logiky (Abeceda predikátové logiky, Vázaná a volná proměnná, Slučitelná formule, Atomární výrok, Primitivní predikát, Predikátová formule, Uzavřená a otevřená predikátová formule, Tautologie predikátové logiky)
Výrokové formy (Výroková forma, Definiční obor výrokové formy, Obor pravdivosti výrokové formy, Obory pravdivosti složených výrokových forem)
Matematické věty a jejich důsledky (Matematická věta, Definice, Postačující a nutná podmínka, Obměna, obrácení a negace matematické věty)
Základní pojmy z teorie množin (Množina, Způsoby určení množin, Množinová inkluze, Operace s množinami, Systém množin, Potenční množin, Kartézský součin dvou množin, Kartézská druhá mocnina, Kártézská n-tá mocnina, Důkaz matematické věty)
Zavedení binárních relací (Binární relace mezi množinami, Binární relace na množině, Jednotková relace, První a druhý obor relace, Způsoby určení relací, Doplňková relace, Inverzní relace, Složení dvou relací, Vlastnosti relací v množině)
Relace ekvivalence (Relace ekvivalence v dané množině, Rozklad množiny na třídy, Rozklad množiny indukovaný ekvivalencí)
Relace uspořádání množiny (Relace ostré a neostré uspořádání, Relace uspořádání, Uspořádaná množina, Relace lineární uspořádání, Lineárně uspořádaná množina, Hasseův diagram, Prvky uspořádané množiny)
Zobrazení (Zobrazení mezi množinami, Definiční obor zobrazení, Obor hodnot zobrazení, Surjekce, Injekce, Bijekce, Rovnost zobrazení, Ekvipotentní zobrazení, Konečná množina, Nekonečná množina, Spočetná množina, Nespočetná množina)
Úkolem předmětu je ukázat numerický přístup k úlohám, se kterými se studenti seznámili v průpravných matematických disciplínách. V rámci předmětu je diskutována obecná aplikovatelnost numerických metod oproti metodám analytickým.
